Reguła de l'Hospitala
Jeśli licząc granicę funkcji \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) wychodzi nam: \(\frac00 lub\;\frac\infty\infty\), to liczymy granicę: \(\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\)
WZORY:
1.Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(x\right)}x$$
2.Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}x$$
3. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$
4. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{5tg\left(x\right)}{\sin\left(5x\right)}$$
5. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{tg\left(3x\right)}{tg\left(12x\right)}$$
6. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow3}\frac{arc\tan\left(x-3\right)}{x^2-9}$$
7. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{e^x-1}{\cos\left(x\right)-1}$$
8. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow e}\frac{1-\ln\left(x\right)}{\ln\left(\ln\left(x\right)\right)}$$
9. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(\ln\left(x\right)\right)}{2x^2-9}$$
10. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{arcctg\left(x\right)}{e^{-x}}$$
11. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^\frac{x^4+2x^2-1}{3x^2-5x+4}$$
rozwiązanie
$$\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi^+}\frac{\ln\left(x-\mathrm\pi\right)}{\mathrm{tgx}}=\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi^+}\frac{\left(\ln\left(x-\mathrm\pi\right)\right)’}{\left(\mathrm{tgx}\right)’}=\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi^+}\frac{\displaystyle\frac1{x-\mathrm\pi}}{\displaystyle\frac1{\cos^2x}}=\\\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi^+}\frac{\cos^2x}{x-\mathrm\pi}=\frac{\left(-1\right)^2}{0^+}=\frac1{0^+}=\infty$$
12. Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granicę:$$\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi^+}\frac{\ln\left(x-\mathrm\pi\right)}{\mathrm{tgx}}$$
rozwiązanie
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(2x\right)-2x}{2x^3}=^{l’H}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(\sin\left(2x\right)-2x\right)’}{\left(2x^3\right)’}\\=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos\left(2x\right)\cdot2-2}{6x^2}=^{l’H}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(\cos\left(2x\right)\cdot2-2\right)’}{\left(6x^2\right)’}\\=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-4\sin\left(2x\right)}{12x}=^{l’H}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(-4\sin\left(2x\right)\right)’}{\left(12x\right)’}\\\lim_{x\rightarrow0}\frac{-8\cos\left(2x\right)}{12}=-\frac8{12}=-\frac23$$